materi logika

1.1.  Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Kuantor

1.1.1. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja tetapi tidak sekaligus benar dan salah.Yang dimaksud benar atau salah adalah sesuai dengan keadaan yang sesungguhnya.

Contoh 1

 

(i).  pernyataan yang bernilai benar.

      a. Jakarta ibu kota negara Republik Indonesia.

      b. matahari terbit dari timur.

      c. 1+10=11

(ii).pernyataan yang bernilai salah.

     a. matahari terbit dari barat.

     b. 2 adalah bilangan ganjil.

     c. kucing bisa terbang.

Adakalanya suatu penyataan tidak bisa langsung bisa di tentukan nilai kebenarannya pernyataan ini disebut “pernyataan factual”.

1.1.2. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah/variable, belum bisa secara langsung di tentukan benar dan salahnya.Peubah/variable adalah lambang yang digunakan untuk mewakili anggota sembarang dari suatu semesta pembicaraan.

Contoh kalimat terbuka, misal:

a.       2 + x = 5, untuk x variable bilangan cacah

b.      2x – 3 < 9, untuk x variabel bilangan asli.

c.       x² – x – 6 = 0, x Є R

d.      3x² + 5x – 2 > 0, x Є R

1.1.3. Pernyataan Berkuantor

Kuantor adalah kata yang menyatakan kuantitas atau jumlah.

Kuantor terbagi  menjadi 2 macam yaitu :

a.      kuantor umum (universal)

yaitu kuantor yang menyatakan jumlah /sifat keseluruhan. Lambang kuantor universal adalah "x

Misal: semua, setiap, seluruh.

Contoh kuantor umum:

a). semua mahasiswa jurusan matematika rajin belajar.

b). semua siswa kelas III IPA mengerjakan pekerjaan matematika.

2. kuantor khusus (eksistensial)

yaitu kuantor yang menyatakan sifat sebagian. Dilambangkan dengan $x

Misal: ada, sebagian , beberapa .

Contoh kuantor khusus:

a).  beberapa mahasiswa jurusan matematika malas.

b).  sebagian dari mahasiswa  tidak lulus mata kulih Kalkulus.

c).  dari bencana banjir kemarin ada orang yang hanyut.

1.2.   Ingkaran atau Negasi Suatu Pernyataan

Definisi :

Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang bernilai benar jika pernyataan semula salah atau benilai salah jika pernyataan semula benar.

Penyataan “ingkaran p” atau “negasi p” dinyatakan dengan lambang ~p, dan berarti tidak benar bahwa atau jika mungkin dengan menyisipkan perkataan tidak/bukan di dalam pernyataan p

Contoh

 

            p : sepatu itu berwarna hitam

            ~p : Tidak benar sepatu itu berwarna hitam atau

            ~p : sepatu itu tidak berwarna hitam.

                                                Tabel kebenaran:

p	~p
B        S	S         B

Catatan: negasi dari semua/setiap adalah ada/beberapa.

Negasi ada 2 macam  yaitu :       

a)  Negasi suatu pernyataan yang tidak nengandung kuantor.

Contoh negasi dari pernyataan (p) yang tidak mengandung kuantor:

       p : ikan bernafas dengan insang

     ~p : Tidak benar ikan  bernafas dengan insang.

b)      Negasi pernyataan yang mengandung kuantor.

Contoh  negasi dari pernyataan yang mengandung kuantor:

        p : semua mahasiswa matematika pandai.

      ~p : beberapa mahasiswa matematika tidak pandai.

Contoh

 

Tentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut :

1. q : Jakarta adalah ibukota Indonesia
2. r : tidak ada pelajar berseragaam baju hijau
3. p : 7 – 4 = 3
4. q : 7 + 4 < 100

Pembahasan

1. ~q : tidak benar Jakarta ibukota Indonesia
2. ~ r : ada pelajar yang berseragam baju hijau
3. ~p : 7 – 4 ≠ 3
4. ~q : 7 + 4 ≥ 100

UJI KOMPETENSI

 

1. Manakah diantara kalimat-kalimat berikut ini yang merupakan pernyataan? jika merupakan pernyataan tentukan nilai kebenarannya (nilai benar ataukah salah)        

a.       Matahari terbit dari barat             

b.      Tolong ambilkan buku itu!                       

c.       Apakah adik sudah belajar ?

2. Tulislah ingkaran/negasi dari pernyataan berikut :

a.       p : Sekarang musim kemarau

b.      q : Hari ini Budi tidak pakai baju seragam sekolah

c.       r : Tidak benar bahwa pelajaran matematika sulit

d.      s : Ada bilangan prima yang genap

e.       t : Semua ikan bernafas dengan insang

3. Tulislah ingkaran/negasi dari masing-masing pernyataan berikut, kemudian tentukan pula nilai kebenaran ingkaran/negari pernyataan tersebut :

a.       2 adalah bilangan prima

b.      3² + 5 = 11

c.       DKI Jakarta terletak di Jawa Barat

d.      semua x Є R, untuk x² + 2x + 3 > 0

1.3. Konjungsi

Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis dengan lambang p Ù q

 (dibaca : p dan q)

Tabel kebenarannya adalah :

p	q	p Ù q
B           B           S           S	B          S          B          S	B            S            S            S

Contoh

 

Tentukan konjungsi dari pernyataan berikut p dan q

a. Pernyataan   p : 12 habis dibagi 3 (benar)

                        q : 15 habis dibagi 2 (salah)

    maka           p Ù q : 12 habis dibagi 3 dan 15 habis dibagi 2 (salah)

b. Pernyataan   p : semua bilangan cacah merupakan bilangan ganjil (salah)

                         q : semua bilangan prima merupakan bilangan ganjil (salah)

    maka      p Ù q : semua  bilangan  cacah  dan  prima merupakan  bilangan

    ganjil (salah)  

 Kadang-kadang kata hubung logika “dan” diganti dengan kata lain yang      mempunyai arti sama seperti “tetapi” atau “walaupun”.

UJI KOMPETENSI

 

1.      Diketahui pernyataan        p : Candra lulus ujian

                                                            q : Candra melanjutkan ke perguruan tinggi

            Nyatakan pernyataan berikut dengan lambang logika matematika

a.       Candra lulus ujian dan melanjutkan ke perguruan tinggi

b.      Tidak benar bahwa Candra lulus ujian dan melanjutkan ke perguruan tinggi.

2.      Diketahui pernyataan p bernilai salah dan q bernilai benar, tentukan nilai  kebenaran dari pernyataan berikut :

a. p Ù q                                    c. ~ (p Ù q)

b. ~ p Ù q                                d. ~ (~ p Ù q)

3.      Buatlah tabel kebenaran dari :

a. ~p Ù q                                  c. (p Ù ~q) Ù ~ r

b. ~p Ù ~q                               d. (~p Ù q) Ù r

1.4.  Disjungsi

Disjungsi dari pernyataan p atau q dinyatakan dengan lambang pÚ q

(dibaca  p atau q).

Definisi :

Disjungsi dari dua pernyataan p atau q bernilai salah hanya jika komponen-komponennya bernilai salah.

Tabel kebenaran

p	q	p Ú q
B          B          S          S	B         S         B         S	B           B           B           S

Contoh

1.  Tentukan disjungsi dari pernyataan p dan q berikut:

a. Pernyataan   p : 5 + 3 = 8 (benar)

                        q : 8 adalah bilangan genap (benar)

    Maka    p Ú q : 5 + 3 = 8 atau 8 adalah bilangan benap (benar)

b. Pernyataan  p : 8 > 8 (salah)

                        q : 8 = 8 (benar)

    Maka    p Úq : 8 > 8 atau 8 = 8 (benar) atau dapat dinyatakan dengan 

                             8 ³ 8 (benar)

Pemakaian Konjungsi dan Disjungsi pada rangkaian listrik (switching)

1. Rangkaian seri.

/   /     A                     p                        q                      B

 

Rangkaian ini adalah rangkaian sistem “ seri “ dengan terminal A dan B serta saklar p dan q. Jika saklar p dan q tertutup (on), maka akan didapat arus listrik mengalir dari A ke B atau sebaliknya. Hal ini bersesuaian dengan konjungsi pernyataan p Ù q, berarti akan ada arus listrik mengalir dari A ke B atau sebaliknya, jika saklar p dan q dalam keadaan tertutup (on).

2. Rangkaian parallel.

/      p    A                                  /                                       B                  q

 

Rangkaian ini adalah rangkaian sistem “parallel” dengan terminal A dan B, saklar p dan q. Jika p dan q tertutup (on), maka didapat arus listrik mengalir dari A ke B atau sebaliknya dan jika salah satu dari saklar p atau saklar q tertutup (on dan yang lain terbuka (off) arus listrik akan tetap mengalir dari A ke B atau sebaliknya. Hal ini bersesuaian dengan konjungsi pernyataan

p Ú q, berarti akan ada arus listrik mengalir dari A ke B atau sebaliknya, jika salah satu dari saklar p dan saklar q (atau kedua-duanya dalam keadaan tertutup)

Contoh

 

a.       Gambarlah jaringan listrik yang bersesuaian dengan pernyataan p Ú (q Ù r)

Pembahasan

p                                         A                                                                                       B                                         q                   r

.

b.      Tulislah pernyataan majemuk dari jaringan listrik berikut ini :

/               /                         p              q                            /                           A                                                                   s           B                                             /                         r

 

     A

           Pembahasan

Dari rangkaian listrik di atas dapat dinyatakan dengan pernyataan majemuk adalah [(p Ù q) Ú r] Ù s

UJI KOMPETENSI

1.      Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut dan tentukan pula komponen-komponennya :

a.       2 adalah bilangan prima atau genap

b.      Candi Borobudur teretak di Jawa tengah atau di Jawa Timur

2.      Buatlah table kebenaran dari :

a.  p Ú ~ q                                d.  ~ pÚ ~ q

b.  ~ p Ú q                               e.  pÚ (q Ú r)

3.      Gambarlah jaringan listrik yang bersesuaian dengan masing-masing pernyataan berikut :

a.  pÙ (q Ú r)                            d.  (pÙ q) Ú (pÙ r)

b.  pÚ (q Ù r)                           e.   pÙ [q Ú (r Ù s)]

1.5.  Implikasi

Pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung  ”jika…..maka….” dinamakan implikasi di tulis dengan lambang  : “ p q ”

Cara membaca implikasi dua pernyataan tunggal (p Þ q) adalah :

      “ jika p maka q “

      “ q hanya jika p “

            “ p syarat yang cukup bagi q “

“ q syarat perlu bagi p “

      “ q jika p”

      “ q memuat p “

Pernyataan p dinakan anteseden atau hipotesis, sedangkan pernyataan q dinamakan konsekuen atau kesimpulan

Tabel kebenaran

P	q	p  q
B           B           S           S	B             S             B             S	B               S               B               B

Contoh

1. Tentukan implikasi dari pernyataaan p dan q berikut:

a. Pernyataan       p : 3 + 5 = 8 (benar)

                              q : 8 adalah bilangan genap (benar)

      Maka       p Þq : Jika 3 + 5 = 8 maka 8 adalah bilagan genap (benar)

2. Tentukan x agar kalimat “p(x) Þ q”, untuk p(x) dan q berikut ini merupakan implikasi bernilai benar !

p(x) : x² + 4x + 3 = 0

q      : 15 adalah bilangan prima

Pembahasan

p(x) : x² + 4x + 3 = 0

         (x + 3)(x + 1) = 0

          x = -3  atau x = -1

Pernyataan 15 adalah bilangan prima bernilai salah.Jadi q bernilai salah.Agar p(x) Þ q bernilai benar, sedangkan q bernilai salah maka p harus salah.

Jadi, pernyataan p(x) bernilai salah untuk x ¹ -3 atau x ¹ -1

UJI KOMPETENSI

 

           

1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut :

a.       Jika ABCD persegi panjang, maka AB = CD

b.      Jika 7 adalah bukan bilangan prima, maka 7 adalah bilangan ganjil

2. Bila p dan q merupakan pernyataan-pernyataan yang bernilai benar, sedang kan r dan s adalah pernyataan yang salah, tentukan nilai kebenaran dari :

a. p Þ (r Þ s)

b. (r Þ p) Þ (~ r Þ ~ p)

3. Buatlah table kebenaran dari :

a. p Ú (q Þ r)                          c. (p Þ q) Ú (q Þ r)

1.6.  Biimplikasi

Yaitu pernyataan majemuk yang memakai kata penghubung “jika dan hanya   jika”.Simbol:

Tabel kebenaran:

p	q	p q	q p	p q
B      B      S      S	B       S       B       S	B      S      B      B	B       B       S       B	B       S       S       B

Contoh

 

1. Tentukan biimplikasi dari pernyataan p dan q berikut:

a.  Pernyataan      p : 2 + 6 = 8 (benar)

                              q : 2 < 8 (benar)

 Maka         p Ûq : 2 + 6 = 8 jika hanya jika 2 < 8 (benar)

2. Tentukan x agar kalimat “p(x) Û q” untuk  p(x) dan q berikut merupakan biimplikasi bernilai benar !

p(x) : x² – 4x + 3 = 0

q    : 9 adalah bilangan prima

Pembahasan

Biimplikasi “p(x) Û q” bernlai benar, Jika p(x) dan q masing-masing bernilai benar atau p(x) dan q masing-masing bernilai salah.

Pernyataan q bernilai salah.Agar biimplikasi “p(x) Û q” bernilai benar maka p(x) harus bernilai salah.

Nilai x  yang  membuat  p(x) : x² – 4x + 3 = 0  bernilai  salah adalah x ¹ 3 atau x ¹ 1. Jadi, p bernilai salah jika x ¹ 3 atau x ¹ 1, sehingga p(x) Û q bernilai benar.

1.7. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Dua pernyataan majemuk disebut ekuivalen jika memiliki kebenaran yang    sama. Lambang untuk ekuivalen adalah “º”. Jadi, jika p ekuivalen q dapat dituliskan “p º q”

Contoh

 

1.      Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa pernyataan-       

             pernyataan berikut ini merupakan pernyataan majemuk yang ekuivalen !

a.      ~ (pÙq) º ~ pÚ ~q

b.      ~ (pÚq) º ~ pÙ ~q

Pernyataan majemuk dapat dibentuk dari :

¨ dua pernyataan tunggal.

¨ lebih dari dua pernyataan tunggal.

¨beberapa pernyataan  majemuk

¨beberapa pernyataan tunggal dan beberapa pernyataan majemuk

Pembahasan

            a. ~ (pÙq) º ~ pÚ ~q

                       

	q	~p	~q	pÙq	~(pÙq)	~pÚ~q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	S	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

           

b. ~ (p Úq) º ~ Ù~q

p	q	~p	~q	pÚq	~(pÚq)	~pÙ~q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	B	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	B

           

UJI KOMPETENSI

1. Buktikanlah pernyataan ekuivalen pada soal di bawah ini dengan menggunakan tabel kebenaran !

1.      p Ù q º ~ (~p Ú ~q)           2. p Ù q º ~ (p Ú q)

2. Buktikan keekuivalenan pernyataan–pernyataan majemuk berikut dengan menggunakan tabel kebenaran !

1.      p Û q º ~p Ú ~q)             2. p Ú (qÞp) º q Ù(p Þ q)

1.8.       Negasi dari Pernyataan Majemuk

1.8.1. Negasi dari Konjungsi

Negasi konjungsi dua peryataan p dan q dilambangkan oleh ~(pÙq).

Tabel kebenaran negasi konjungsi

P	q	P Ùq	~(pÙq)
B	B	B	S
B	S	S	B
S	B	S	B
S	S	S	B

1.8.2. Negasi dari Disjungsi

Negasi disjungsi dua pernyataan p dan q dilambangkan oleh ~(pÚq)

Tabel kebenaran negasi disjungsi

P	q	P Úq	~(pÚq)
B	B	B	S
B	S	B	S
S	B	B	S
S	S	S	B

1.8.3. Negasi dari Implikasi

Negasi dari implikasi dua pernyataan p dan q dilambangkan oleh ~(pÞq)

Tabel kebenaran negasi implikasi

p	q	p Þq	~(pÞq)
B	B	B	S
B	S	S	B
S	B	B	S
S	S	B	S

1.8.4. Negasi dari Biimplikasi

Negasi dari biimplikasi dua pernyataan p dan q dilambangkan oleh ~ (pÛq)

Tabel kebenaran Negasi Biimplikasi

p	q	p Ûq	~(pÛq)
B	B	B	S
B	S	S	B
S	B	S	B
S	S	B	S

Contoh :

1.  Buatkan tabel kebenaran untuk pernyataan-pernyataan berikut !

a. ~(~pÙ~q)                                           b. ((pÚq)Ú~p)

Pembahasan

a. Tabel kebenaran untuk ~ (~p Ù ~q)

P	~p	q	~q	~p Ù ~q	~(~ pÙ~q)
B	S	B	S	S	B
B	S	S	B	S	B
S	B	B	S	S	B
S	B	S	B	B	S

b. Tabel kebenaran untuk ~((p Ú q) Ú ~p)

           

p	~p	q	~q	p Ú q	((p Ú q) Ú ~p)	~((p Ú q) Ú ~p)
B	S	S	B	B	B	S
B	S	S	B	B	B	S
S	B	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	B	S

2.  Tunjukkan bahwa:

a. ~(pÞq)º~(~p Úq)                             b. ~(pÛq)ºpÛ-q

Pembahasan

a.  Tabel kebenaran untuk ~(pÞq) dan ~(~p Ú q)

p	q	~p	~(pÞq)	(~p Úq)	~(~p Ú q)
B	B	S	S	B	S
B	S	S	B	S	B
S	B	B	S	B	S
S	S	B	S	B	S

           

         

b.      Tabel kebenaran untuk ~p(Ûq) dan pÛ~q

p	q	~q	PÛq	~(pÛq)	PÛ~ q
B	B	B	B	S	S
B	S	S	S	B	B
S	B	S	S	B	B
S	S	B	B	S	S