1.1. Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Kuantor
1.1.1. Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah
saja tetapi tidak sekaligus benar dan salah.Yang dimaksud benar atau salah
adalah sesuai dengan keadaan yang sesungguhnya.
Contoh 1
|
(i). pernyataan yang bernilai benar.
a. Jakarta ibu kota negara Republik
Indonesia.
b. matahari terbit dari timur.
c. 1+10=11
(ii).pernyataan
yang bernilai salah.
a.
matahari terbit dari barat.
b. 2 adalah bilangan ganjil.
c.
kucing bisa terbang.
Adakalanya suatu penyataan tidak bisa langsung bisa di tentukan
nilai kebenarannya pernyataan ini disebut “pernyataan factual”.
1.1.2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah/variable,
belum bisa secara langsung di tentukan benar dan salahnya.Peubah/variable
adalah lambang yang digunakan untuk mewakili anggota sembarang dari suatu
semesta pembicaraan.
Contoh kalimat terbuka, misal:
a.
2 + x = 5, untuk x variable bilangan
cacah
b.
2x – 3 < 9, untuk x variabel
bilangan asli.
c.
x2 – x – 6 = 0, x Є
R
d.
3x2 + 5x – 2 > 0,
x Є R
1.1.3. Pernyataan Berkuantor
Kuantor adalah
kata yang menyatakan kuantitas atau jumlah.
Kuantor
terbagi menjadi 2 macam yaitu :
a.
kuantor umum (universal)
yaitu kuantor
yang menyatakan jumlah /sifat keseluruhan. Lambang kuantor universal adalah "x
Misal: semua, setiap, seluruh.
Contoh kuantor umum:
a). semua
mahasiswa jurusan matematika rajin belajar.
b). semua siswa
kelas III IPA mengerjakan pekerjaan matematika.
- kuantor khusus (eksistensial)
yaitu kuantor
yang menyatakan sifat sebagian. Dilambangkan dengan $x
Misal: ada, sebagian , beberapa .
Contoh kuantor khusus:
a). beberapa mahasiswa jurusan matematika malas.
b). sebagian dari mahasiswa tidak lulus mata kulih Kalkulus.
c). dari bencana banjir kemarin ada orang yang
hanyut.
1.2. Ingkaran
atau Negasi Suatu Pernyataan
Definisi :
Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru
yang bernilai benar jika pernyataan semula salah atau benilai salah jika
pernyataan semula benar.
Penyataan “ingkaran p” atau “negasi p” dinyatakan dengan lambang ~p, dan berarti tidak benar bahwa atau
jika mungkin dengan menyisipkan perkataan tidak/bukan di dalam pernyataan p
Contoh
|
p : sepatu itu
berwarna hitam
~p : Tidak benar sepatu itu berwarna
hitam atau
~p : sepatu itu tidak berwarna
hitam.
Tabel
kebenaran:
p
|
~p
|
B
S
|
S
B
|
Catatan: negasi dari semua/setiap adalah ada/beberapa.
Negasi ada 2
macam yaitu :
a) Negasi suatu pernyataan yang tidak nengandung
kuantor.
Contoh negasi dari
pernyataan (p) yang tidak mengandung kuantor:
p :
ikan bernafas dengan insang
~p : Tidak benar ikan bernafas dengan insang.
b)
Negasi pernyataan yang
mengandung kuantor.
Contoh negasi dari pernyataan yang mengandung
kuantor:
p :
semua mahasiswa matematika pandai.
~p : beberapa mahasiswa matematika tidak
pandai.
Contoh
|
Tentukan ingkaran
dari pernyataan-pernyataan berikut :
- q : Jakarta adalah ibukota Indonesia
- r : tidak ada pelajar berseragaam baju hijau
- p : 7 – 4 = 3
- q : 7 + 4 < 100
Pembahasan
- ~q : tidak benar Jakarta ibukota Indonesia
- ~ r : ada pelajar yang berseragam baju hijau
- ~p : 7 – 4 ≠ 3
- ~q : 7 + 4 ≥ 100
UJI
KOMPETENSI
|
- Manakah diantara kalimat-kalimat berikut ini yang merupakan pernyataan? jika merupakan pernyataan tentukan nilai kebenarannya (nilai benar ataukah salah)
a.
Matahari terbit dari barat
b.
Tolong ambilkan buku itu!
c.
Apakah adik sudah belajar ?
- Tulislah ingkaran/negasi dari pernyataan berikut :
a.
p : Sekarang musim kemarau
b.
q : Hari ini Budi tidak pakai
baju seragam sekolah
c.
r : Tidak benar bahwa pelajaran
matematika sulit
d.
s : Ada bilangan prima yang
genap
e.
t : Semua ikan bernafas dengan
insang
- Tulislah ingkaran/negasi dari masing-masing pernyataan berikut, kemudian tentukan pula nilai kebenaran ingkaran/negari pernyataan tersebut :
a.
2 adalah bilangan prima
b.
32 + 5 = 11
c.
DKI Jakarta terletak di Jawa
Barat
d.
semua x Є R, untuk x2
+ 2x + 3 > 0
1.3. Konjungsi
Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis dengan lambang p Ù q
(dibaca : p dan q)
Tabel kebenarannya adalah :
p
|
q
|
p Ù q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
Contoh
|
Tentukan konjungsi dari pernyataan berikut p
dan q
a. Pernyataan p : 12 habis dibagi 3 (benar)
q : 15 habis dibagi 2
(salah)
maka p Ù q : 12 habis dibagi 3 dan 15 habis dibagi 2 (salah)
b.
Pernyataan p : semua bilangan cacah
merupakan bilangan ganjil (salah)
q : semua bilangan prima merupakan bilangan ganjil (salah)
maka p Ù q : semua bilangan cacah
dan prima merupakan bilangan
ganjil
(salah)
Kadang-kadang kata hubung logika “dan” diganti dengan kata lain
yang mempunyai
arti sama seperti “tetapi” atau “walaupun”.
UJI KOMPETENSI
|
1.
Diketahui pernyataan p : Candra lulus ujian
q : Candra melanjutkan ke perguruan tinggi
Nyatakan pernyataan berikut dengan
lambang
logika matematika
a.
Candra lulus ujian dan
melanjutkan ke perguruan tinggi
b.
Tidak benar bahwa Candra lulus
ujian dan melanjutkan ke perguruan tinggi.
2.
Diketahui pernyataan p bernilai
salah dan q bernilai benar, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :
a. p Ù q c.
~ (p Ù q)
b. ~ p Ù q d.
~ (~ p Ù q)
3.
Buatlah tabel kebenaran dari :
a. ~p Ù q c.
(p Ù ~q) Ù ~ r
b. ~p Ù ~q d.
(~p Ù q) Ù r
1.4. Disjungsi
Disjungsi dari
pernyataan p atau q dinyatakan dengan lambang pÚ q
(dibaca p
atau q).
Definisi :
Disjungsi dari
dua pernyataan p atau q bernilai salah hanya jika komponen-komponennya bernilai
salah.
Tabel kebenaran
p
|
q
|
p Ú q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
Contoh
|
1.
Tentukan disjungsi dari pernyataan p dan q berikut:
a. Pernyataan p : 5 + 3 = 8 (benar)
q : 8 adalah bilangan
genap (benar)
Maka
p Ú q : 5 + 3 = 8 atau 8 adalah bilangan benap (benar)
b. Pernyataan p : 8 > 8 (salah)
q : 8 = 8 (benar)
Maka
p Úq : 8 > 8 atau 8 = 8 (benar) atau
dapat dinyatakan dengan
8 ³ 8 (benar)
Pemakaian Konjungsi dan Disjungsi pada rangkaian
listrik (switching)
- Rangkaian seri.
/
/
A p q B
|
Rangkaian ini adalah rangkaian sistem “ seri “ dengan
terminal A dan B serta saklar p dan q. Jika saklar p dan q tertutup (on), maka
akan didapat arus listrik mengalir dari A ke B atau sebaliknya. Hal ini
bersesuaian dengan konjungsi pernyataan p Ù q, berarti akan ada arus listrik mengalir dari A ke B atau
sebaliknya, jika saklar p dan q dalam keadaan tertutup (on).
- Rangkaian parallel.
/
p
A
/ B
q
|
Rangkaian ini adalah rangkaian sistem “parallel” dengan
terminal A dan B, saklar p dan q. Jika p dan q tertutup (on), maka didapat arus
listrik mengalir dari A ke B atau sebaliknya dan jika salah satu dari saklar p
atau saklar q tertutup (on dan yang lain terbuka (off) arus listrik akan tetap
mengalir dari A ke B atau sebaliknya. Hal ini bersesuaian dengan konjungsi
pernyataan
p Ú q, berarti akan ada arus listrik mengalir dari A ke B atau
sebaliknya, jika salah satu dari saklar p dan saklar q (atau kedua-duanya dalam
keadaan tertutup)
Contoh
|
a.
Gambarlah jaringan listrik yang
bersesuaian dengan pernyataan p Ú (q Ù r)
Pembahasan
p
A B
q r
|
b.
Tulislah pernyataan majemuk
dari jaringan listrik berikut ini :
/ /
p q
/
A s B /
r
|
A
Pembahasan
Dari rangkaian
listrik di atas dapat dinyatakan dengan pernyataan majemuk adalah [(p Ù q) Ú r] Ù s
UJI KOMPETENSI
|
1.
Tentukan nilai kebenaran dari
pernyataan berikut dan tentukan pula komponen-komponennya :
a.
2 adalah bilangan prima atau
genap
b.
Candi Borobudur teretak di Jawa
tengah atau di Jawa Timur
2.
Buatlah table kebenaran dari :
a. p Ú ~ q d. ~ pÚ ~ q
b. ~ p Ú q e. pÚ (q Ú r)
3.
Gambarlah jaringan listrik yang
bersesuaian dengan masing-masing pernyataan berikut :
a. pÙ (q Ú r) d. (pÙ q) Ú (pÙ r)
b. pÚ (q Ù r) e. pÙ [q Ú (r Ù s)]
1.5. Implikasi
Pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung ”jika…..maka….” dinamakan implikasi di tulis
dengan lambang : “ p
q ”
Cara membaca
implikasi dua pernyataan tunggal (p Þ q)
adalah :
“ jika p maka q “
“ q hanya jika p “
“ p syarat yang cukup bagi q “
“ q syarat perlu bagi p “
“ q jika p”
“ q memuat p “
Pernyataan p dinakan anteseden atau hipotesis, sedangkan
pernyataan q dinamakan konsekuen atau kesimpulan
Tabel kebenaran
P
|
q
|
p
q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
Contoh
|
1. Tentukan implikasi dari
pernyataaan p dan q berikut:
a. Pernyataan p : 3 + 5 = 8 (benar)
q : 8 adalah
bilangan genap (benar)
Maka p Þq : Jika
3 + 5 = 8 maka 8 adalah bilagan genap (benar)
2. Tentukan x agar kalimat “p(x) Þ q”, untuk p(x) dan q berikut ini merupakan implikasi bernilai benar
!
p(x) : x2
+ 4x + 3 = 0
q : 15 adalah bilangan prima
Pembahasan
p(x) : x2 + 4x + 3 = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
x = -3 atau x = -1
Pernyataan 15 adalah bilangan prima bernilai salah.Jadi
q bernilai salah.Agar p(x) Þ q
bernilai benar, sedangkan q bernilai salah maka p harus salah.
Jadi, pernyataan p(x) bernilai salah untuk x ¹ -3 atau x ¹ -1
UJI KOMPETENSI
|
- Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut :
a.
Jika ABCD persegi panjang, maka
AB = CD
b.
Jika 7 adalah bukan bilangan
prima, maka 7 adalah bilangan ganjil
- Bila p dan q merupakan pernyataan-pernyataan yang bernilai benar, sedang kan r dan s adalah pernyataan yang salah, tentukan nilai kebenaran dari :
a. p Þ (r Þ s)
b. (r Þ p) Þ (~ r Þ ~ p)
- Buatlah table kebenaran dari :
a. p Ú (q Þ r) c.
(p Þ q) Ú (q Þ r)
1.6. Biimplikasi
Yaitu pernyataan majemuk yang memakai kata penghubung “jika dan
hanya jika”.Simbol:
Tabel
kebenaran:
p
|
q
|
p
q
|
q
p
|
p
q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
B
S
B
|
B
S
S
B
|
Contoh
|
1. Tentukan biimplikasi dari
pernyataan p dan q berikut:
a. Pernyataan p
: 2 + 6 = 8 (benar)
q : 2 < 8
(benar)
Maka
p Ûq : 2 + 6 = 8 jika hanya jika 2 < 8
(benar)
2. Tentukan x agar kalimat “p(x) Û q” untuk p(x) dan q berikut
merupakan biimplikasi bernilai benar !
p(x) : x2
– 4x + 3 = 0
q : 9
adalah bilangan prima
Pembahasan
Biimplikasi “p(x) Û q” bernlai benar, Jika p(x) dan q masing-masing bernilai benar atau
p(x) dan q masing-masing bernilai salah.
Pernyataan q bernilai salah.Agar biimplikasi “p(x) Û q” bernilai benar maka p(x) harus bernilai salah.
Nilai x yang membuat
p(x) : x2 – 4x + 3 = 0
bernilai salah adalah x ¹ 3 atau x ¹ 1. Jadi,
p bernilai salah jika x ¹ 3 atau x
¹ 1, sehingga p(x) Û q
bernilai benar.
1.7.
Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Dua pernyataan majemuk disebut ekuivalen jika memiliki kebenaran
yang sama. Lambang untuk ekuivalen
adalah “º”. Jadi, jika p ekuivalen q dapat
dituliskan “p º q”
Contoh
|
1.
Dengan menggunakan tabel
kebenaran, buktikan bahwa pernyataan-
pernyataan berikut ini merupakan pernyataan majemuk yang ekuivalen !
a.
~ (pÙq) º ~ pÚ ~q
b.
~ (pÚq) º ~ pÙ ~q
Pernyataan
majemuk dapat dibentuk dari :
¨ dua pernyataan tunggal.
¨ lebih dari dua pernyataan
tunggal.
¨beberapa pernyataan majemuk
¨beberapa pernyataan tunggal dan beberapa pernyataan majemuk
Pembahasan
a. ~ (pÙq) º ~ pÚ ~q
|
q
|
~p
|
~q
|
pÙq
|
~(pÙq)
|
~pÚ~q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
b. ~ (p Úq) º ~ Ù~q
p
|
q
|
~p
|
~q
|
pÚq
|
~(pÚq)
|
~pÙ~q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
UJI KOMPETENSI
|
1. Buktikanlah pernyataan ekuivalen pada soal di bawah ini dengan
menggunakan tabel kebenaran !
1.
p Ù q º ~ (~p Ú ~q) 2. p Ù q º ~ (p Ú q)
2. Buktikan keekuivalenan pernyataan–pernyataan majemuk berikut dengan menggunakan
tabel kebenaran !
1.
p Û q º ~p Ú ~q) 2. p Ú (qÞp) º q Ù(p Þ q)
1.8.
Negasi dari Pernyataan Majemuk
1.8.1. Negasi dari Konjungsi
Negasi
konjungsi dua peryataan p dan q dilambangkan oleh ~(pÙq).
Tabel kebenaran negasi konjungsi
P
|
q
|
P Ùq
|
~(pÙq)
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
1.8.2. Negasi dari Disjungsi
Negasi disjungsi dua pernyataan p dan q dilambangkan oleh ~(pÚq)
Tabel
kebenaran negasi disjungsi
P
|
q
|
P Úq
|
~(pÚq)
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
1.8.3. Negasi dari Implikasi
Negasi dari implikasi dua pernyataan p dan q dilambangkan oleh ~(pÞq)
Tabel kebenaran
negasi implikasi
p
|
q
|
p Þq
|
~(pÞq)
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
1.8.4. Negasi dari Biimplikasi
Negasi dari biimplikasi dua pernyataan p dan q dilambangkan oleh ~
(pÛq)
Tabel kebenaran
Negasi Biimplikasi
p
|
q
|
p Ûq
|
~(pÛq)
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
Contoh :
1. Buatkan tabel kebenaran untuk
pernyataan-pernyataan berikut !
a. ~(~pÙ~q) b.
((pÚq)Ú~p)
Pembahasan
a. Tabel kebenaran untuk ~ (~p Ù ~q)
P
|
~p
|
q
|
~q
|
~p Ù ~q
|
~(~ pÙ~q)
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
b. Tabel kebenaran untuk ~((p Ú q) Ú ~p)
p
|
~p
|
q
|
~q
|
p Ú q
|
((p
Ú q) Ú ~p)
|
~((p
Ú q) Ú ~p)
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
2. Tunjukkan bahwa:
a. ~(pÞq)º~(~p Úq) b.
~(pÛq)ºpÛ-q
Pembahasan
a. Tabel kebenaran untuk ~(pÞq) dan ~(~p Ú q)
p
|
q
|
~p
|
~(pÞq)
|
(~p Úq)
|
~(~p Ú q)
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
b. Tabel kebenaran untuk ~p(Ûq) dan pÛ~q
p
|
q
|
~q
|
PÛq
|
~(pÛq)
|
PÛ~ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|