trigonometri

                                                                                          

3.3. Rumus Fungsi Trigonometri Untuk Perkalian Sinus dan Kosinus

a.     Rumus untuk 2 sin a cos b dan 2 cos a sin b 

Rumus 2 sin a cos b diperoleh dari menjumlahkan rumus sin (a ± b), sedangkan rumus 2 cos a sin b diperoleh dari mengurangkan rumus sin (a ± b), sebagaimana berikut ini.

Sin (a +b) = sin a cos b + cos a sinb

Sin (a -b)  = sin a cos b  - cos a sinb

                                                                                +

Sin (a +b) + Sin (a -b) = 2 sin a cos b                 :

2 sin a cos b  =  Sin (a +b) + Sin (a -b)

                            

selanjutnya apabila dikurangkan:

Sin (a +b)             = sin a cos b + cos a sinb

Sin (a -b)              = sin a cos b  - cos a sinb

                                                                                -

Sin (a +b) -Sin (a -b) = 2 cosa sinb                    

2 cos a sin b  =  Sin (a +b) -Sin (a -b)

                                      

Jadi:                     

b. Rumus-rumus untuk 2cos a cos b  dan 2 sin a sinb

Rumus 2 cos a cos b diperoleh dari menjumlahkan rumus cos (a ± b), sedangkan rumus 2 sin a sin b diperoleh dari mengurangkan rumus cos (a ± b), sebagaimana berikut ini.

cos (a +b)               = cos a cos b - sin a sinb

cos (a -b)                = cosa cos b  + sin a sinb

                                                                                 +

cos (a +b) + cos (a - b) = 2 cos a cos b                

2 cos a cos b  =  cos (a + b) + cos (a - b)

 Selanjutnya apabila dikurangkan:

cos(a +b)           = cosa cos b  -  sin a sinb

cos (a -b)           = cos a cos b + sin a sinb

                                                                            -

cos (a +b) -cos (a -b) = - 2 sin a sinb             

 -2sin a sinb    = cos (a +b) -cos (a -b)    atau

      2sin a sinb     = -cos (a +b) +cos (a -b)

2 sin a sin b  =  cos (a - b) -cos (a + b)

   

Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini sebagai jumlah atau selisih: a. 2 sin x cos y                            b. sin 650 sin 350 Pembahasan: a. 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x – y) b. sin 650 sin 350 = ½  ( 2 sin 650 sin 350) = ½ (cos (650 – 350) – cos (650 + 350)) = ½ (cos 300 – cos 1000) = ½ (½ - cos 1000) = ¼  - ½ cos 1000

Contoh 1

 

Tanpa menggunakan table dan kalkulator tentukan nilai dari: a. 2 sin 52 ½ 0 cos 7 ½ 0                          b. 10 cos 1050 cos 750 Pembahasan: a. 2 sin 52 ½ 0 cos 7 ½ 0 = sin (52 ½ 0 +7 ½ 0)+ sin (52 ½ 0 -7 ½ 0) = sin 600 + sin 450 = ½ Ö3 + ½ Ö2 = ½ (Ö3 + Ö2) b. 10 cos 1050 cos 750     = 5 (2 cos 1050 cos 750) = 5 ( cos (1050 + 750) + cos (1050 – 750)) = 5 (cos 1800 + cos 300) = 5(-1 + ½ Ö3) = -5 + 5/2 Ö3)

Contoh 2

 

Dengan menggunakan rumur perkalian sinus dan kosinus, buktikan bahwa: a. 2 sin ( ¼ p + q) sin ( ¾ p + q) = cos 2q b. Sin 3x + (cos x + sin x) (1 – 2 sin 2x)= cos 3x Pembahasan: (yang sebelah kiri dijabarkan) a. 2 sin ( ¼ p + q) sin ( ¾ p + q) = cos ((¼ p + q) – (¾ p + q)) – cos ((¼ p + q) + (¾ p + q)) = cos (-½p) – cos (p + 2q) = 0 – (- cos 2q) = cos 2q                 (terbukti). b. Sin 3x + (cos x + sin x) (1 – 2 sin 2x) = sin 3x + cos x + sin x –2sin 2x cos x –2 sin 2x sin x = sin 3x+cos x+ sin x – (sin 3x + sin x) +(cos 3x- cos x) = sin 3x – sin 3x + cos x – cos x +sin x – sin x + cos 3x = cos 3x                 (terbukti)

Contoh 3

 

1.      Nyatakan soal-soal berikut . ini ke bentuk jumlah atau selisih dan sederhanakan jika mungkin: a. 2 sin 8x cos 2x                                  b. Sin (A + B-C) cos (A – B + C) 2.      Tanpa menggunakan table dan kalkulator, hitunglah nilai eksak dari: a. ). cos 52 ½ 0 cos 7 ½ 0                      b. –7 Sin 750 cos 150 3.      Tunjukkan bahwa: a. (sin 2q + sin 4q + sin 6q) sin q = sin 3q sin 4q b. 2 sin 3b sin 4b + 2 cos 5b cos 2b – 3 cos 3b = cos b 4.      Nyatakanlah soal-soal berikut ini sebagai bentuk jumlah dan selisih! a. 3 sin 1100 cos 400                              b. -4 cos 690 cos 160 5.      Tanpa table dan kalkulator, tentukan nilai eksak dari: a ½ cos 112,50 sin 67,50  + sin 450 cos 150 b. 2 sin 500  cos 400  + 2cos 800  sin 700 6.      Tunjukkan bahwa: a. 2sin (a + 60) cos (a - 60) = ½ Ö3 + sin 2a b. 4 sin 6 cos 12 sin 18 = 1 + sin 6 – cos 12

LEMBAR KERJA 6